Teaching

תקציר

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם–לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

תקציר

תורת המודלים היא תחום בלוגיקה מתמטית בעל השלכות ושימושים בתחומים אחרים במתמטיקה. בסמסטר הזה נתמקד בתורת המודלים של שדות דיפרנציאליים, שהיא ההקשר בו תורת המודלים תורמת לחקר משוואות דיפרנציאליות. זה כולל בין היתר תורת גלואה של משוואות דיפרנציאליות, שימושים באריתמטיקה, באלגברה לא קומוטטיבית וגם תורה קלאסית של משוואות דיפרנציאליות (למשל, משוואות Painlevé). בנוסף, התורה הזו מעניינת מאוד מבחינת כלים תורת–מודליים, ומספקת דוגמאות (ודוגמאות נגדיות) לתופעות שונות.

תקציר

1. נושאי הכנה: ייצוג מספרים במחשב, שגיאות עיגול ויציבות. נורמות מטריצליאליות ומספר המצב של מטריצה.
2. מבוא לפתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות רגילות: בעיות תנאי התחלה, שיטת אוילר, מבוא לשיטות multistep, בעיות תנאי שפה.
3. שיטות נומריות לפתרון משוואות לינאריות: אלימינציית גאוס עם החלפות ציר, פירוק LU. שיטות איטרטיביות: יעקובי, גאוס-סיידל, שיטת הגרדיינט הצמוד. קירובי ריבועים פחותים.
4. שיטות נומריות למציאת ערכים עצמיים: מעגלי גרשגורין. שיטת החזקה. שיקולי יציבות בתהליך גרם-שמידט: שיקופי האוסהולדר וסיבובי גיבנס. צורת הסנברג וצורה תלת-אלכסונית. פירוק QR ואלגוריתם QR.

תקציר

הקורס מציג את התורה הבסיסית של המספרים הטבעיים, ויתמקד ברובו בתוצאות קלאסיות, כגון פירוק יחיד לראשוניים, משפט השאריות הסיני ומשפט ההדדיות הריבועית. בהמשך, יוצגו שיטות והקשרים מתחומים אחרים, כגון אלגברה, אנליזה וטופולוגיה, ויוצגו שימושים בתחום ההצפנות.

תקציר

1. חוגים ואידאלים.
2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
4. משפט הבסיס של הילברט.
5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
6. משפט האפסים של הילברט.
7. יריעות אפיניות.
8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
9. חוגי הערכה בדידה.

תקציר

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

Abstract

The course provides an introduction to the theory of non-commutative rings, and related structures. We will take as our motivating goal understanding the representation theory of finite groups. This will lead us to study the structure of semisimple rings, which is well understood due to a number of theorems by Wedderburn.

A valued field is an algebraic object that plays a role analogous to that of a ``small disc around 0’’ in geometry. In this course we will focus on the model theory of such fields, and its uses. The course will begin with a review of basic results on the first order theory of algebraically closed valued fields, such as quantifier elimination and structure of sets definable in one variable. We will the discuss elimination of imaginaries, integration theory, stable domination and the structure of the type space, and the analogy with Berkovich spaces.

תקציר

הקורס יעסוק במספר מושגים בסיסיים בתורת המודלים: