A list of all the posts and pages found on the site. For you robots out there is an XML version available for digesting as well.




Ind- and Pro- definable sets Permalink

Published in Ann. Pure Appl. Logic, 2007

We describe the ind- and pro- categories of the category of definable sets, in some first order theory, in terms of points in a sufficiently saturated model.

Definable groups of partial automorphisms Permalink

Published in Selecta Math. (N.S.), 2009

The motivation for this paper is to extend the known model theoretic treatment of differential Galois theory to the case of linear difference equations (where the derivative is replaced by an automorphism.) The model theoretic difficulties in this case arise from the fact that the corresponding theory ACFA does not eliminate quantifiers. We therefore study groups of restricted automorphisms, preserving only part of the structure. We give conditions for such a group to be (infinitely) definable, and when these conditions are satisfied we describe the definition of the group and the action explicitly. We then examine the special case when the theory in question is obtained by enriching a stable theory with a generic automorphism. Finally, we interpret the results in the case of ACFA, and explain the connection of our construction with the algebraic theory of Picard-Vessiot extensions. The only model theoretic background assumed is the notion of a definable set.

The model completion of the theory of modules over finitely generated commutative algebras Permalink

Published in J. Symbolic Logic, 2009

We find the model completion of the theory modules over A, where A is a finitely generated commutative algebra over a field K. This is done in a context where the field K and the module are represented by sorts in the theory, so that constructible sets associated with a module can be interpreted in this language. The language is expanded by additional sorts for the Grassmanians of all powers of Kn, which are necessary to achieve quantifier elimination. The result turns out to be that the model completion is the theory of a certain class of “big” injective modules. In particular, it is shown that the class of injective modules is itself elementary. We also obtain an explicit description of the types in this theory.

A categorical approach to internality Permalink

Published in Models, logics, and higher-dimensional categories, 2011

Model theoretic internality provides conditions under which the group of automorphisms of a model over a reduct is itself a definable group. In this paper we formulate a categorical analogue of the condition of internality, and prove an analogous result on the categorical level. The model theoretic statement is recovered by considering the category of definable sets.

Tannakian formalism over fields with operators Permalink

Published in Int. Math. Res. Not. IMRN, 2013

We develop a theory of tensor categories over a field endowed with abstract operators. Our notion of a “field with operators”, coming from work of Moosa and Scanlon, includes the familiar cases of differential and difference fields, Hasse-Schmidt derivations, and their combinations. We develop a corresponding Tannakian formalism, describing the category of representations of linear groups defined over such fields. The paper extends the previously know (classical) algebraic and differential algebraic Tannakian formalisms.

Model theory and the Tannakian formalism Permalink

Published in Trans. Amer. Math. Soc., 2015

We draw the connection between the model theoretic notions of internality and the binding group on one hand, and the Tannakian formalism on the other. More precisely, we deduce the fundamental results of the Tannakian formalism by associating to a Tannakian category a first order theory, and applying the results on internality there. We also formulate the notion of a differential tensor category, and a version of the Tannakian formalism for differential linear groups, and show how the same techniques can be used to deduce the analogous results in that context.

Interpretations and differential Galois extensions Permalink


Published in Int. Math. Res. Not. IMRN, 2016

We give accounts and proofs, using model-theoretic methods among other things, of the following results: Suppose ∂y = Ay is a linear differential equation over a differential field K of characteristic 0, and the field CK of constants of K is existentially closed in K. Then, (i) there exists a Picard–Vessiot extension L of K, namely a differential field extension L of K which is generated by a fundamental system of solutions of the equation, and has no new constants; (ii) if L1 and L2 are two Picard–Vessiot extensions of K which (as fields) have a common embedding over K into an elementary extension of CK, then L1 and L2 are isomorphic over K as differential fields; and (iii) suppose that CK is large in the sense of Pop [21] and also has only finitely many extensions of degree n for all n (Serre’s property (F)). Then, K has a Picard–Vessiot extension L such that CK is existentially closed in L. In fact we state and prove our results in the more general context of logarithmic differential equations over K on (not necessarily linear) algebraic groups over CK, and the corresponding strongly normal extensions of K. We make use of interpretations from model theory as well the Galois groupoid, which are related to the Tannakian theory in [3, 4], but go beyond the linear context. Towards the proof of (iii) we obtain a Galois-cohomological result of possibly independent interest: if k is a field of characteristic 0 with property (F), and G is any algebraic group over k, then H1(k,G) is countable. The current paper replaces the preprint [8] which only dealt with the linear differential equations case and had some mistakes.

Imaginaries in separably closed valued fields Permalink


Published in Proc. Lond. Math. Soc. (3), 2018

We show that separably closed valued fields of finite imperfection degree (either with lambda-functions or commuting Hasse derivations) eliminate imaginaries in the geometric language. We then use this classification of interpretable sets to study stably dominated types in those structures. We show that separably closed valued fields of finite imperfection degree are metastable and that the space of stably dominated types is strict pro-definable.

Model theory of fields with free operators in positive characteristic Permalink


Published in Trans. Amer. Math. Soc., 2019

We give algebraic conditions about a finite algebra B over a perfect field of positive characteristic, which are equivalent to the companionability of the theory of fields with “B-operators” (i.e. the operators coming from homomorphisms into tensor products with B). We show that, in the most interesting case of a local B, these model companions admit quantifier elimination in the “smallest possible” language and they are strictly stable. We also describe the forking relation there.

Higher internal covers Permalink

Published in Model Theory, 2023

We define and study a higher-dimensional version of model theoretic internality, and relate it to higher-dimensional definable groupoids in the base theory.

Binding groups for algebraic dynamics Permalink


Preprint, 2024

A binding group theorem is proved in the context of quantifier-free internality to the fixed field in difference-closed fields of characteristic zero. This is articulated as a statement about the birational geometry of isotrivial algebraic dynamical systems, and more generally isotrivial σ-varieties. It asserts that if (V,ϕ) is an isotrivial σ-variety then a certain subgroup of the group of birational transformations of V, namely those that preserve all the relations between (V,ϕ) and the trivial dynamics on the affine line, is in fact an algebraic group. Several application are given including new special cases of the Zariski Dense Orbit Conjecture and the Dixmier-Moeglin Equivalence Problem in algebraic dynamics, as well as finiteness results about the existence of nonconstant invariant rational functions on cartesian powers of σ-varieties. These applications give algebraic-dynamical analogues of recent results in differential-algebraic geometry.



Graduate course, Ben-Gurion, Spring 2015

קורס מתקדם, בן-גוריון, אביב 2015

A valued field is an algebraic object that plays a role analogous to that of a ``small disc around 0’’ in geometry. In this course we will focus on the model theory of such fields, and its uses. The course will begin with a review of basic results on the first order theory of algebraically closed valued fields, such as quantifier elimination and structure of sets definable in one variable. We will the discuss elimination of imaginaries, integration theory, stable domination and the structure of the type space, and the analogy with Berkovich spaces.

Graduate course, Ben-Gurion, Spring 2017

קורס מתקדם, בן-גוריון, אביב 2017


The course provides an introduction to the theory of non-commutative rings, and related structures. We will take as our motivating goal understanding the representation theory of finite groups. This will lead us to study the structure of semisimple rings, which is well understood due to a number of theorems by Wedderburn.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Fall 2018

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, סתיו 2018


מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Spring 2020

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, אביב 2020


  1. חוגים ואידאלים.
  2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
  3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
  4. משפט הבסיס של הילברט.
  5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
  6. משפט האפסים של הילברט.
  7. יריעות אפיניות.
  8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
  9. חוגי הערכה בדידה.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Fall 2020

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, סתיו 2020


הקורס מציג את התורה הבסיסית של המספרים הטבעיים, ויתמקד ברובו בתוצאות קלאסיות, כגון פירוק יחיד לראשוניים, משפט השאריות הסיני ומשפט ההדדיות הריבועית. בהמשך, יוצגו שיטות והקשרים מתחומים אחרים, כגון אלגברה, אנליזה וטופולוגיה, ויוצגו שימושים בתחום ההצפנות.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Spring 2021

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, אביב 2021


  1. נושאי הכנה: ייצוג מספרים במחשב, שגיאות עיגול ויציבות. נורמות מטריצליאליות ומספר המצב של מטריצה.
  2. מבוא לפתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות רגילות: בעיות תנאי התחלה, שיטת אוילר, מבוא לשיטות multistep, בעיות תנאי שפה.
  3. שיטות נומריות לפתרון משוואות לינאריות: אלימינציית גאוס עם החלפות ציר, פירוק LU. שיטות איטרטיביות: יעקובי, גאוס-סיידל, שיטת הגרדיינט הצמוד. קירובי ריבועים פחותים.
  4. שיטות נומריות למציאת ערכים עצמיים: מעגלי גרשגורין. שיטת החזקה. שיקולי יציבות בתהליך גרם-שמידט: שיקופי האוסהולדר וסיבובי גיבנס. צורת הסנברג וצורה תלת-אלכסונית. פירוק QR ואלגוריתם QR.

Graduate course, Ben-Gurion, Spring 2022

קורס מתקדם, בן-גוריון, אביב 2022


תורת המודלים היא תחום בלוגיקה מתמטית בעל השלכות ושימושים בתחומים אחרים במתמטיקה. בסמסטר הזה נתמקד בתורת המודלים של שדות דיפרנציאליים, שהיא ההקשר בו תורת המודלים תורמת לחקר משוואות דיפרנציאליות. זה כולל בין היתר תורת גלואה של משוואות דיפרנציאליות, שימושים באריתמטיקה, באלגברה לא קומוטטיבית וגם תורה קלאסית של משוואות דיפרנציאליות (למשל, משוואות Painlevé). בנוסף, התורה הזו מעניינת מאוד מבחינת כלים תורת–מודליים, ומספקת דוגמאות (ודוגמאות נגדיות) לתופעות שונות.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Fall 2022

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, סתיו 2022


מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם–לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

Undergraduate course, Ben-Gurion, Fall 2023

קורס לתואר ראשון, בן-גוריון, סתיו 2023


  1. חוגים ואידאלים.
  2. מודולים. סדרות מדוייקות. מכפלה טנזורית של מודולים.
  3. חוגים נטרים ומודולים מעליהם
  4. משפט הבסיס של הילברט.
  5. מודולים נוצרים סופית מעל תחום אידאילים ראשיים.
  6. משפט האפסים של הילברט.
  7. יריעות אפיניות.
  8. אידיאלים ראשונים ולוקליזציה. פרוק פרימרי.
  9. חוגי הערכה בדידה.